Çocukların Simetri Anlayışı

 “Stokastik anlayışın kaynağı olan simetri, gerçekte bilinmeyen ve fena halde ihmal edilip sezgi yolu ile anlaşılan ve didaktik bir araçtır. Bunu söylemek hoş olmayabilir, ama eğitmenler öğrencilerinden daha hızlı öğreniyor gibi görünmüyorlar.”

Olasılığı öğretirken simetrinin sık-sık kullanıldığını gösteren üç genel örnek vardır:madeni para, zar ve kavanozlar. Bu yazı çocukların bu üç örnekten ilk ikisini anlamaları hakkındaki bazı görüşleri müzakere edecektir.

Kerslake (1974) çoğu ilkokul çocuğunun bir zar atıldığında bazı rakamların diğerlerinden daha kolay elde edileceğine inandığı gerçeğine dikkat çekti. Ayrıca 1-3 yaş arasına kıyasla 4 yaşında bazı ‘ilerlemeler’ olduğunu gözlemledi. Dört yaşındaki çocukların hiç olmazsa yarısı en zor elde edilen sayının altı olduğuna inanıyordu. Kerslake bunu çoğu oyunda oyuncunun başlayabilmesi için zarla altı atması gerektiği gerçeğine dayandırdı.

Green (1983) 7-11 yaşlarındaki öğrenciler üstündeki geniş kapsamlı incelemenin sonuçlarını sundu. Ayrıca ilerlemenin yaş ile birlikte olduğunu buldu ve yetişkinlik çağında kararlı bir şekilde devam eden, 6’ya karşı bir önyargı olduğu kararına vardı.

Bu önyargı çoğunlukla düşük seviyeli öğrencilerde bulunuyordu. Green bu tip öğrencilerin kararsız cevap örneklerinin olasılıksal durumlar hakkındaki inanışta gerçek düzensiz değişimi yansıtabileceğini önerdi.

Kararsız cevap örnekleri birçok nedenden meydana gelmiş olabilir. Bilimsel röportajlar, nedenleri geniş bir incelemede daha derin bir şekilde gözden geçirme imkanına sahiptir. Bu yazı 1981’de Güney Avustralya’daki okullarda yürütülen az sayıdaki bilimsel röportajların ilk analizlerini vermektedir.

Bu konuyla ilgisi olan, iki tane birbirini izleyen soru, 20 ile 35 dakika arasında süren röportajın başlarında soruldu. Sorular, deneklerin kararsızlık veya tutarsızlık belirtileri gösterdiği durumlarda röportajın sonlarında tekrar soruldu. Aşağıdaki maddeler, soruların temel yapısını verir, fakat bu, alınan cevaplara göre değişiklik gösterir.

(a) Sence bir zar attığında bazı rakamlar diğerlerinden daha kolay elde edilebilir mi?

Neden? Neden değil?

Hangi rakam en kolay elde edilir?

Hangi rakam en zor elde edilir?

(b) Bu parayı attığımda , tura getirmenin herhangi bir yolu var mı? Neden? Neden değil?

Bu parayı attığımda , yazı getirmenin herhangi bir yolu var mı? Neden? Neden değil?

Alınan cevapların farklı çeşitleri sınıflandırıldı ve birer örnekle birlikte aşağıda listelendi.

A. A. A. A. A. Sorunun Yanlış Yorumu

AP (13:8 , 8 yaş)

I Bir zar attığın zaman bazı rakamlar diğerlerinden daha kolay elde edilebilir mi?

S Hayır , gerçekten olmaz.

I Neden olmadığını söyleyebilir misin?

S Gerçekte hangi yüzeyin üste geleceğini bilemezsin ya da şey , fakat ... evet ... gerçekte hangi yüzeyin üste geleceğini bilemezsin. Yuvarlanmaya devam etmesine bağlı ... Bunu açıklayamam.

I Peki , bu iyi

S Mm ... en fazla karşılaştığım rakam beş

I O zaman bazı rakamları elde etmek daha kolay , öyle mi , yoksa değil mi?

S Kolayca değil , sadece onlarla daha sık karşılaşılıyor.

B. B. B. B. B. Simetrinin Değerlendirilmesindeki Eksiklik

B1. Paranın Zihne Ait Güçlerin Tesiri Altında Kaldığı İnanışı

DR (8:9 , 4 yaş)

S Bilmiyorum , fakat olabilir.

I Hiç parayı ‘sevindirmeyi’ denedin mi?

I Eğer bu parayı atarsam tura getirmenin herhangi bir yolu var mı?

S Denemediysen yoktur.

I Tura gelmesini nasıl sağlayabilirim?

S Sadece onu ‘sevindir’.

I Yazı getirmenin herhangi bir yolu var mı?

S Aynı şekilde.

I Eğer onu tura için ‘sevindirirsem’ , her zaman tura gelir mi?

S Hayır. Ben bir zarı ‘sevindirmeyi’ denedim.

I İşe yaradı mı?

S Bazen işe yaradı bazen de yaramadı.

I Yeteri kadar fazla ‘sevindirmediğinden’ mi kaynaklanıyor?

S O sayıyı elde etmişsem ‘sevindirmişimdir’ , elde edememişsem yeteri kadar ‘sevindirememişimdir’.

B2. Paranın Fiziksel Güçlerin Tesiri Altında Kaldığı İnanışı

MW (13:3 , 8 yaş)

I Bir para attığım zaman , tura getirmenin herhangi bir yolu var mı?

S Eğer oldukça iyi isen , galiba , zannedersem elde etme şansın % 60 dır.

I Bunu nasıl yapardın?

S Sadece parayı ne kadar yükseğe fırlatacağın ve ona kaç dönüş yaptıracağın sorununu çöz ve sadece bir süre pratik yapmaya devam et.

I Anlıyorum. Yazı gelmesini sağlayabilir miyim?

S Evet , galiba , eğer aynı şeyi yaparsan.

B3. Zar ve Paranın Simetrileri Arasındaki Tutarsızlık

AM (14:10 , 10 yaş)

I Bazı rakamlar diğerlerinden daha kolay elde edilebilir mi?

S Gerçekten olmaz. Gerçekten olmaz. Aynı gelme şansına sahipler.

I Tamamen emin misin?

S Çoğunlukla şu şekilde: bazen 3 ya da 5 , nadiren 6

I ‘Nadiren 6’ derken neyi kastediyorsun?

S 6 getirmeyi denediğin zaman , ona ihtiyacın olmayıncaya dek asla gelmez. Çünkü zarı atarsın ve denersin ve atmaya devam edersin , 6 nadiren gelir.

I Hangi rakam en kolay elde edilir?

S 3.

I Neden 3?

S Bilmiyorum. Çoğunlukla , her zaman o geliyor. A.. , her zaman değil , esasen 3 ve 4.

I Eğer bir para atarsam , tura getirmenin herhangi bir yolu var mı?

S Hayır , gerçekten yok , hayır.

I Yazı getirmenin herhangi bir yolu var mı?

S Hayır , eşit şans , 2 de 1

I Neden eşit şansa sahip?

S Bu dalavere değil , öyle değil mi , ya da başka bir şey?

I Hayır , hilesiz bir para.

S ... Böyle oluyor işte. Ya tura gelecek ya da yazı ...

I Evet?

S ??? Aşağı yukarı eşit defa

B4. Daha Kolay ve Daha Zorun Tamamlayıcı Olduğunun Değerlendirmesindeki Başarısızlık

PL (8:8 , 4 yaş)

I Hangi rakam en zor elde edilir?

S 6.

I Hangi rakam en kolay elde edilir?

S Bilmiyorum.

I En kolay rakam var mıdır?

S Eğer onları istiyorsan hepsi zordur.

C. C. C. C. C. Yanlış Nedenler İçin Simetrinin Değerlendirilmesi

C1. Saptanamayan Sonuçlara Dayanan Muhakeme

JM (13:7 , 8 yaş)

I Bir paranın tura gelmesini sağlamak için herhangi bir yol var mı?

S Bilmiyorum.

I ‘Bilmiyorum’ derken neyi kastediyorsun?

S Herhangi bir yol olmayacaktır , çünkü bir kere havaya atıldığında sadece yere düşer.

I Yazı getirmenin herhangi bir yolu var mı?

S Hayır , çünkü değişir. Ne düşerse o gelmiştir.

C2. Değişim İçin İhtiyaca Dayanan Muhakeme

CG (15:3 , 10 yaş)

I Bir zar attığın zaman bazı rakamlar diğerlerinden daha kolay elde edilebilir mi?

S Hayır.

I Neden olmadığını söyleyebilir misin?

S Çünkü zarın altı yüzeyi var ve gerçekten her seferinde aynısını elde edemezsin. Değişiklik gösterir.

I Bazı rakamlar diğerlerinden daha zor elde edilebilir mi?

S Hayır.

I Ne tür şeyler için yazı-tura atarsın?

S Bulaşık yıkama sırası ve bunun gibi.

I Bu adil bir yöntem mi?

S Evet!

I Eğer bir para atarsam , tura getirmenin herhangi bir yolu var mı?

S Hayır.

I Ya yazı?

S Hayır.

I Neden olmayacağını açıklayabilir misin?

S Diğeriyle aynı. Paranın iki yüzü vardır ve gerçekten her seferinde aynı şeyi elde edemezsin. Değişmek zorundadır.

C3. Sınıfta Geçerli Ders Notlarına Olan İhtiyaca Dayanan Muhakeme

AM (14:10 , 10 yaş)

I (ikinci defa soruluyor) Eğer bir zar atarsam bazı rakamlar diğerlerinden daha kolay elde edilebilir mi?

S Matematikte öğrendiğime göre , hayır , gerçekten olmaz. Bunu yaptığın zaman bazı sayılarla karşılaşılıyor.

I A.. , anlıyorum , inanıyorsun , şu görüşe saplanıp kalmışsın , ne demiştin , üçler ve dörtler daha kolay gelir?

S Ortadaki sayılar en kolay gelir.

I Ve altılar da en zor mu?

S Mm.

I Öne sürdüğün şeyi matematikte yaptığınız şeylerle nasıl bağladın?

S A.. , sana bir şey söylerler , ama eve gidip yaptığın zaman , aynı şeymiş gibi görünmez.

I Sadece zevk olsun diye mi , yoksa geçekten ev ödevi hazırlamak için mi eve gidip yaptın?

S A.. , hayır , sadece yapmıştım.

D. D. D. D. D. Fiziksel Simetrinin Değerlendirilmesinin Düzeltilmesi

VS (15:10 , 10 yaş)

I Bir zar attığında bazı rakamlar diğerlerinden daha kolay elde edilebilir mi?

S Gerçekten olmaz , altıncı bir şansın var , buna sahipsin , attığın zaman ... hayır. Hayır.

I Hayır mı?

S Hayır.

I Neden olmasın?

S Çünkü ne şekilde attığına bağlı. Sadece bir şekilde atman altı elde edebileceğin anlamına gelmez. Bunu açıklamak zor. Aynı sayıyı elde edemezsin , hiçbir rakam kolay değildir çünkü hepsi düz bir yüzeydedir ve hangi yüzeyi elde edeceğin zarı ne kadar yuvarladığına veya onu ne kadar salladığına ve ne şekilde düştüğüne bağlıdır.

O halde hiçbir yüzey kolay değildir çünkü sahip oldukları farklı noktalar dışında bütün yüzeyler aynıdır.

Tabii bu cevapların sınıflandırılması hemen hemen tamamlanmamıştır. Üstelik cevapların türü de karşılıklı söyleşidir.

Şüphesiz bu sınıflandırma daha özenli araştırma metotlarının uygulanmasıyla saf hale getirilebilirdi. Fakat bu devlette bile şimdiki bazı pedagojik sorunları aydınlatmak için yardıma ihtiyaç var.

İlk olarak , öğrencilerinin cevaplarını takdir etmek ve benimsenmiş düzeltici deneyimleri seçmek öğretmenlerin işini kolaylaştırabilir. Örneğin , C1 tipine karşılık gelen öğrencilerden , belirsizliğin eşit olasılığı kapsamadığı bir değerlendirmenin geçerli olabileceği bir durumda şu istenebilir: yeni doğan bebeklerin cinsiyet dağılımlarının frekanslarını denetlemek.

İkinci olarak , C3 kategorisi , olasılık hesapları öğretmenin bu hesapların gerçek hayata uygulanabilir olduğunu garanti etmediğini gösterir. Bu sebepten , bu tür hesapları kullananların kullanmayanlara göre avantajlı olacaklarını gösterecek yöntemlerin bulunması gerekir. Bunun içinde oyunların avantajları yatar.

Çoğunlukla oyunların basit deneylere göre daha etkili olduğu kesindir. B1 , B2 ve C3 kategorileri , deneyin önyargıyı istenmeyen bir şekilde etkilediğini gösterir. Bazı kapsamlara göre bunun anlamlı matematiksel bir sebebi vardır. Freudenthal (1972) şunu gözlemlemiştir: bir paranın 100 kere atılması , % 95 olasılıkla , 0.4 ve 0.6 arasında bir göreli frekans meydana getirir ve 2500 kere atılması ise % 95 limitinde 0.48 ve 0.52 arasında olmasını gerektirir. Başka bir deyişle , bir parayı çok fazla atmak ve sonuçları kaydetmek , düşünce değişimini teşvik için yeteri kadar simetrik bir şekilde sonuçları garanti etmek yeterli değildir. Sherwood (1978) Varga’nın çalışmasını asimetrik bir gereç olan ‘biçimsiz’ zar ile açıkladı.

Açıkça asimetrik maddelerle ilgili deneyimler , muhtemelen bir öğrenci için simetriyi garanti eden özel nitelikleri değerlendirmeyi daha da kolaylaştırır.

Üçüncü olarak , B1-B4 kategorilerinden şu açıkça anlaşılabilir: deneyimsiz öğrencilerin her zaman tutarlı görüşleri olmuyor. Hawkins ve Kapadia (1984) hayali olasılığın çocuklara öğretmek için en etkili yaklaşım olduğu konusunda tartışıyorlar. Hangi seviyedeki çocukların bu yaklaşımdaki tutarlılığın değerini gözlemleyecek kadar yeterli kabiliyete sahip olduğu araştırılmaya devam ediyor.

Sonuç olarak , bu sınıflandırma gereken bir şekilde toplanan incelemelerin sınırlamalarını göstermez. Çocuklardaki olasılık kavramının gelişmesi halâ tamamen anlaşılamamıştır. Toplanan bir inceleme bir inanışın

durumu hakkında iyi bir fikir verebilirken , bu durumun nedenlerini göstermede veya hangi öğretme metotlarının daha iyi olduğu konusunda ipuçları vermede zayıf kalmaktadır.